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    Análise I. Empty Análise I.

    Mensagem por felipeqas Ter Ago 12, 2014 11:28 pm

    As menores parecem ser as piores...

    Prove o princípio de indução como consequência do princípio da boa ordenação.
    paulo_194
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    Mensagem por paulo_194 Ter Out 28, 2014 1:17 am

    Que questão maneira ! hahaha

    paulo_194
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    Análise I. Empty Re: Análise I.

    Mensagem por paulo_194 Ter Out 28, 2014 3:24 am

    Suponha que o princípio de indução matemática é verdadeiro e que o "princípio de boa ordenação" não é.

    Seja [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] um conjunto não vazio de números naturais que não contém um menor elemento.

    Vamos provar por indução que qualquer número natural n não pertence a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] (o que contradiz o fato de que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] não é vazio).

    A base é [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Se [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], então [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] é o menor elemento de [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Vamos mostrar o passo indutivo.

    Pela hipótese, os números [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] não pertencem a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Então, [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], temos que, [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] é o menor elemento de [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

    Vamos provar que o princípio da boa ordenação implica o princípio da indução matemática.

    Suponha que o princípio da boa ordenação é verdade enquanto o princípio da indução matemática não é.

    Considere uma série de proposições tais que a primeira proposição é verdadeira e para qualquer número natural [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], a verdade da [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]-ésima proposição na série implica a verdade da [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]-ésima proposição.

    Forme o conjunto dos números naturais [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] tais que a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]-ésima proposição na série não é verdadeira.

    Suponha que este conjunto não é vazio e seja [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] seu menor elemento. Então, a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]-ésima proposição é verdadeira, mas a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]ésima proposição não é.

    Esta contradição à nossa hipótese completa a demonstração.

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