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felipeqas
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Mensagem por felipeqas em Ter Ago 12, 2014 11:28 pm

As menores parecem ser as piores...

Prove o princípio de indução como consequência do princípio da boa ordenação.
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Mensagem por paulo_194 em Ter Out 28, 2014 1:17 am

Que questão maneira ! hahaha



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Mensagem por paulo_194 em Ter Out 28, 2014 3:24 am

Suponha que o princípio de indução matemática é verdadeiro e que o "princípio de boa ordenação" não é.

Seja [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] um conjunto não vazio de números naturais que não contém um menor elemento.

Vamos provar por indução que qualquer número natural n não pertence a [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] (o que contradiz o fato de que [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] não é vazio).

A base é [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Se [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.], então [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] é o menor elemento de [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Vamos mostrar o passo indutivo.

Pela hipótese, os números [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] não pertencem a [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Então, [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.], temos que, [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] é o menor elemento de [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.].

Vamos provar que o princípio da boa ordenação implica o princípio da indução matemática.

Suponha que o princípio da boa ordenação é verdade enquanto o princípio da indução matemática não é.

Considere uma série de proposições tais que a primeira proposição é verdadeira e para qualquer número natural [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.], a verdade da [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]-ésima proposição na série implica a verdade da [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]-ésima proposição.

Forme o conjunto dos números naturais [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] tais que a [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]-ésima proposição na série não é verdadeira.

Suponha que este conjunto não é vazio e seja [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] seu menor elemento. Então, a [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]-ésima proposição é verdadeira, mas a [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]ésima proposição não é.

Esta contradição à nossa hipótese completa a demonstração.


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