Questão de matemática

A soma de dois números naturais x e y é igual a 20, calcule x e y, de modo que o produto desses números seja o maior possível.

Existem três formas de resolver essa questão: duas formas para o ensino médio e a do superior. Vou mostrar todas e você absorve a que achar melhor e condizente a seu nível

O enunciado diz que a soma dos dois números é 20 e quer saber qual o valor máximo do produto. Escrevendo os dados temos o seguinte:

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Da primeira equação encontramos que   y = 20-x ; substituindo esse dado na segunda equação encontramos que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Como você pode ver encontramos uma função do 2º grau, pois P está em função de x. Aqui é onde existe a divisão nas explicações:

I) Ensino Médio usual:

Como P está em função de x e temos uma função do 2º grau temos que encontrar o valor do x do vértice. E como a<0 encontraremos o valor de x que maximiza P. Usando a fórmula do x do vértice encontramos:

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Também é pedido o valor de y, mas esse é bastante simples de encontrar, bastando substituir o valor de x que foi encontrado agora na equação que está entre os dois crashes ali em cima:

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II) Ensino Superior

Como temos P em função de x encontramos que P'(x) = -2x+20 e que P''(x) = -2. Isso quer dizer não teremos um ponto de inflexão e que a concavidade sempre será negativa, ou seja, teremos um ponto de máximo, que será encontrado quando resolvermos a equação P'(x) = 0. Oras:

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Usando a mesma conclusão de I encontramos que y=10.

III) Ensino Médio não usual, criado por mim

Em vez de considerarmos uma função do 2º grau consideremos como sendo uma equação do 2º grau em x. Teremos, então, que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Essa equação só terá solução se existir x e isso só vai acontecer se o delta for maior ou igual a 0; se o delta for menor que 0 a equação não terá solução e, portanto, não existirá x. Usando isso teremos:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Perceba que P é menor ou igual a 100, portanto o valor máximo do produto é 100 (P=100), mas não é pedido o produto e sim x e y. Para encontrá-los, basta resolver a equação acima, substituindo o valor de P. Resolvendo-a encontramos que x=10 e, de novo, y=10.

Já tinha resolvido essa questão, mas queria aprender de outra forma, obrigado vc me mostrou duas formas diferentes, a do ensino superior, pra mim é complicada porque ainda não fiz a disciplina de Cálculo (estudo Eng. Agrícola) mas conheço um pouco da derivada.

Tava vendo essa questão e concluir sempre que x + y = w sendo w um número natural e x.y = n sendo n o maior produto possível, tem-se que x = y = w/2.

y = w – x

x.(w – x) = n

xw – x² = n

Resolvendo x vértice

X = -b / 2a

X = -w / 2(-1)

X = w /2   então x vale metade de w

Agora y

X + y = w

W /2 + y = w

Y = w – w/2

Y = w /2
 
Então x = y = w/2.

É isso mesmo: pra maximizar o produto cada um dos termos tem que ser a metade da soma. É chato isso, sempre a metade... você vê várias questões assim, pra calcular o produto máximo, e já sabe como vai ser, mas tem que fazer a mesma coisa sempre... mas enfim, é isso mesmo, cê tá certo

  Agora a questão perdeu a graça