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Símbolos úteis

C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ- Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃ ∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓­ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈ 丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ← Շ ≮ ⌒ ≯ ≤ ≥ ∝ π ℮ אօ ∞ Å ■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹ ● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג ½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷ ㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂

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    Mensagem por DexteR Seg Fev 09, 2015 9:41 pm

    Considere a equação diferencial parcial:


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    Para [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] e [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    a) Resolva a equação diferencial com as seguintes condições:

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    b) Calcule os coeficientes de Fourier envolvidos na solução obtida para determinar completamente as constantes da solução geral da equação diferencial
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    Mensagem por DexteR Seg Fev 09, 2015 10:42 pm

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Vamos usar o método da separação de variáveis


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Vou omitir os termos em parênteses para não sobrecarregar o exercício


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Substituindo


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Isolando x de um lado e t do outro


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Montando um sistema


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Resolvendo esta EDO por polinômio característico [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    antes de analisar o lambda, vamos pegar os dados


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Agora vamos lá Very Happy


    Se [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], temos:


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Solução Trivial, não nos interessa.


    Se [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], temos


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Dai vamos tirar novamente que:


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Se [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Agora que nos interessa e muito


    Podemos ter a solução Trivial se o B for 0, então essa eu não quero, vamos considerar que o B não é zero, então o seno tem que ser zero, desta forma


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Isolando o lambda


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Resultado importante


    Desta forma ficamos com a função T


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    Agora vamos resolver a outra EDO


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Integrando dos dois lados


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Isolando tudo, vamos ter algo do gênero


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Jogando de volta na função u temos


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Para encontrar o u, temos que somar todas as funções em n


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Agora o exercício diz


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Finalizando a letra A


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Agora vamos para a letra B


    O termo "Constante" que não depende de t é tudo o que não tem o seno, então


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Resolvendo essa integral vamos chegar a algo assim:


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Só que sabemos que: [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], porque n é um número natural


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Passando o exponencial para o outro lado dividindo, tirando o sinal negativo do expoente ele fica positivo do outro lado


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

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