Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto B, que se encontra na margem oposta do rio. A distância BC é igual a a = 30 m. A largura do rio AC é igual a b = 40 m. Com que velocidade mínima u, relativa à água, deve mover-se a lancha para chegar ao ponto B, sabendo que a velocidade da corrente é V0 = 10 m/s ?
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Resolução encontrada na net:
"Vamos por o ponto A no plano cartesiano, na origem.
Então, ele deve chegar em B = (30, 40)
Sendo v a velocidade do barco e θ o ângulo que faz com a horizontal(por isso o plano cartesiano), então temos que a velocidade no eixo X será:
Vx = Velocidade resultante em X = V0 + v . cos θ
Vy = Velocidade resultante em Y = v . sen θ
Agora, como queremos que o barco percorra a distância AB em linha reta(pois não dá pra fazer curva sem mudar a velocidade), então é necessário que:
Vx . t = a
Vy . t = b
Portanto, isolando os t's e igualando obtemos:
Vx . b = Vy . a
(V0 + v . cos θ) . b = (v . sen θ) . a
Isolando v obtemos:
v = (v0 . b)/(a . sen θ - b . cos θ)
Certo, agora como b, a e v0 são fixos, então queremos que a velocidade mínima será quando o denominador for máximo.
E como fazemos isso? Podemos fazer uma substituição:
K = a . sen θ - b . cos θ
K = √(a²+b²)([a/√(a²+b²)] . sen θ - [b/√(a²+b²)] . cos θ)
Sendo cos β = a/√(a²+b²) e sen β = b/√(a²+b²) e então:
K = √(a²+b²)[cos β . sen θ - cos θ . sen β] = √(a²+b²) . sen(θ-β)
Portanto:
V = (v0 . b)/[√(a²+b²) . sen(θ-β)]
Logo, o mínimo da velocidade ocorre quando o seno é maximo, ou seja.
Vmin = v0 . b / √(a²+b²)
Substituindo os dados obtemos:
Vmin = 8 m/s
A direção em que isso ocorre satifaz:
sen(θ-β) = 1 ---> θ - β = 90° ---> θ = 90° + β
Podemos perceber que como:
0 < β < 90°
Então
90° < θ < 180°
Ou seja, a direção do barco é para a esquerda e para cima nesse caso. Onde:
cos θ = -4/5
sen θ = 3/5
PS: O ângulo β nada mais é que o ângulo ABC. Nos dados da questão temos que:
√(a²+b²) = 50
a = 30
b = 40
sen β = 4/5
cos β = 3/5"
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A parte que nao entendi:Ele utiliza relaçoes trigonometricas de seno e cosseno para o angulo "theta" para encontrar K = √(a²+b²) . sen(θ-β).E depois ,no final, para que K = √(a²+b²) . sen(θ-β) tenha valor maximo ,sen(θ-β) é 1,ou seja, θ-β = 90°,logo, θ>90°.
Como esse angulo pode se tornar maior que 90° se ele usa seno e cosseno? Provavel q n EU n esteja compreendendo mto bem pq ,alem da resposta dele bater com gabarito, ele n deixaria passar batido esse errinho bobo - eu ja lhe perguntei a respeito em outro forum mas n esclareceu especificamente essa duvida.
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"Vamos por o ponto A no plano cartesiano, na origem.
Então, ele deve chegar em B = (30, 40)
Sendo v a velocidade do barco e θ o ângulo que faz com a horizontal(por isso o plano cartesiano), então temos que a velocidade no eixo X será:
Vx = Velocidade resultante em X = V0 + v . cos θ
Vy = Velocidade resultante em Y = v . sen θ
Agora, como queremos que o barco percorra a distância AB em linha reta(pois não dá pra fazer curva sem mudar a velocidade), então é necessário que:
Vx . t = a
Vy . t = b
Portanto, isolando os t's e igualando obtemos:
Vx . b = Vy . a
(V0 + v . cos θ) . b = (v . sen θ) . a
Isolando v obtemos:
v = (v0 . b)/(a . sen θ - b . cos θ)
Certo, agora como b, a e v0 são fixos, então queremos que a velocidade mínima será quando o denominador for máximo.
E como fazemos isso? Podemos fazer uma substituição:
K = a . sen θ - b . cos θ
K = √(a²+b²)([a/√(a²+b²)] . sen θ - [b/√(a²+b²)] . cos θ)
Sendo cos β = a/√(a²+b²) e sen β = b/√(a²+b²) e então:
K = √(a²+b²)[cos β . sen θ - cos θ . sen β] = √(a²+b²) . sen(θ-β)
Portanto:
V = (v0 . b)/[√(a²+b²) . sen(θ-β)]
Logo, o mínimo da velocidade ocorre quando o seno é maximo, ou seja.
Vmin = v0 . b / √(a²+b²)
Substituindo os dados obtemos:
Vmin = 8 m/s
A direção em que isso ocorre satifaz:
sen(θ-β) = 1 ---> θ - β = 90° ---> θ = 90° + β
Podemos perceber que como:
0 < β < 90°
Então
90° < θ < 180°
Ou seja, a direção do barco é para a esquerda e para cima nesse caso. Onde:
cos θ = -4/5
sen θ = 3/5
PS: O ângulo β nada mais é que o ângulo ABC. Nos dados da questão temos que:
√(a²+b²) = 50
a = 30
b = 40
sen β = 4/5
cos β = 3/5"
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A parte que nao entendi:Ele utiliza relaçoes trigonometricas de seno e cosseno para o angulo "theta" para encontrar K = √(a²+b²) . sen(θ-β).E depois ,no final, para que K = √(a²+b²) . sen(θ-β) tenha valor maximo ,sen(θ-β) é 1,ou seja, θ-β = 90°,logo, θ>90°.
Como esse angulo pode se tornar maior que 90° se ele usa seno e cosseno? Provavel q n EU n esteja compreendendo mto bem pq ,alem da resposta dele bater com gabarito, ele n deixaria passar batido esse errinho bobo - eu ja lhe perguntei a respeito em outro forum mas n esclareceu especificamente essa duvida.
Ter Jul 02, 2019 10:07 am por Jonas
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