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C ~ ≈ ≠ ≡ ≠ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ƒ ↔ ∈ ∋ℝ ℕ ℕ* ℚ ℤ ℤ* ℤ+ ℤ- Ø ¢ | | ٧ ٨ ∧ ∨ ⊂ ⊃ ∆ ∇ ∩ Ո ∪ ○ f◦g − × ± ∓­ ÷ ⊕ • · ⊙ ⊗ ◈ 丄 ⊥ 丅 ㅜ √ ∛ ∜ ∑ ∏ ⊥ ⊿ → ↑ ↓ ↕ ← Շ ≮ ⌒ ≯ ≤ ≥ ∝ π ℮ אօ ∞ Å ■ | ∣ ∣ 4‾ ┴ ║ ij \ # № ∟ ∠ ℓ ♯ fˉ¹ ● ‰ ² ³ ¹ º ª ⁿ ⁴ ⁿˉ ༝ ⁿˉ¹ ∫ a ∝ ₁ ₂ ₃ ₄ ı ո ց ь հ զ ս օ ג ½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ $ £ ™ ₁օօ ∴ ∵ ∷ ㋵ α β γ δ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ ∂

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    Decomposiçao vetorial - velocidade

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    vinicius89
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por vinicius89 Seg Set 14, 2015 8:25 pm

    Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto B, que se encontra na margem oposta do rio. A distância BC é igual a a = 30 m. A largura do rio AC é igual a b = 40 m. Com que velocidade mínima u, relativa à água, deve mover-se a lancha para chegar ao ponto B, sabendo que a velocidade da corrente é V0 = 10 m/s ?

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    Resolução encontrada na net:

    "Vamos por o ponto A no plano cartesiano, na origem.
    Então, ele deve chegar em B = (30, 40)
    Sendo v a velocidade do barco e θ o ângulo que faz com a horizontal(por isso o plano cartesiano), então temos que a velocidade no eixo X será:
    Vx = Velocidade resultante em X = V0 + v . cos θ
    Vy = Velocidade resultante em Y = v . sen θ
    Agora, como queremos que o barco percorra  a distância AB em linha reta(pois não dá pra fazer curva sem mudar a velocidade), então é necessário que:
    Vx . t = a
    Vy . t = b
    Portanto, isolando os t's e igualando obtemos:
    Vx . b = Vy . a
    (V0 + v . cos θ) . b = (v . sen θ) . a
    Isolando v obtemos:
    v = (v0 . b)/(a . sen θ - b . cos θ)
    Certo, agora como b, a e v0 são fixos, então queremos que a velocidade mínima será quando o denominador for máximo.
    E como fazemos isso? Podemos fazer uma substituição:
    K = a . sen θ - b . cos θ
    K = √(a²+b²)([a/√(a²+b²)] . sen θ - [b/√(a²+b²)] . cos θ)
    Sendo cos β = a/√(a²+b²) e sen β = b/√(a²+b²) e então:
    K = √(a²+b²)[cos β . sen θ - cos θ . sen β] = √(a²+b²) . sen(θ-β)
    Portanto:
    V = (v0 . b)/[√(a²+b²) . sen(θ-β)]
    Logo, o mínimo da velocidade ocorre quando o seno é maximo, ou seja.
    Vmin = v0 . b / √(a²+b²)
    Substituindo os dados obtemos:
    Vmin = 8 m/s
    A direção em que isso ocorre satifaz:
    sen(θ-β) = 1 ---> θ - β = 90° ---> θ = 90° + β

    Podemos perceber que como:
    0 < β < 90°
    Então
    90° < θ < 180°
    Ou seja, a direção do barco é para a esquerda e para cima nesse caso. Onde:
    cos θ = -4/5
    sen θ = 3/5


    PS: O ângulo β nada mais é que o ângulo ABC. Nos dados da questão temos que:
    √(a²+b²) = 50
    a = 30
    b = 40
    sen β = 4/5
    cos β = 3/5"

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

    A parte que nao entendi:Ele utiliza relaçoes trigonometricas de seno e cosseno para o angulo "theta" para encontrar K = √(a²+b²) . sen(θ-β).E depois ,no final, para que K = √(a²+b²) . sen(θ-β) tenha valor maximo ,sen(θ-β) é 1,ou seja, θ-β = 90°,logo, θ>90°.
    Como esse angulo pode se tornar maior que 90° se ele usa seno e cosseno? Provavel q n EU n esteja compreendendo mto bem pq ,alem da resposta dele bater com gabarito, ele n deixaria passar batido esse errinho bobo - eu ja lhe perguntei a respeito em outro forum mas n esclareceu especificamente essa duvida.
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por vinicius89 Seg Set 14, 2015 9:44 pm

    Duvida esclarecida.Ele usa "v.cosθ" como expressao generica p/ qualquer angulo 0°>θ>180°.Como a componente horizontal de "v" se encontra no sentido oposto de Vo, terá valor negativo e θ estará entre 90° e 180°.
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por Helo Ter Set 15, 2015 9:22 am

    A pessoa que resolveu essa questão complicou sua vida. kkkkkkkkkk

    Vou resolver de uma outra forma bem mais simples, veja.



    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]= velocidade constante

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]=velocidade da água em relação à Terra

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]=velocidade do barco em relação à Terra


    Com isso temos a seguinte relação vetorial:

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]


    Para que o barco parta do ponto A da margem e chegue ao ponto B da margem oposta seguindo a trajetória AB em relação à Terra (margens), a velocidade do barco em relação à Terra [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] deve apontar na direção da reta AB.

    Veja as figuras:

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]


    As figuras 1, 2 e 3 mostram três situações distintas que satisfazem a relação vetorial. E para saber qual delas teremos o menor valor para o vetor [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link], basta perceber que será quando tivermos a distância mínima entre o ponto P e a reta AB como mostra a figura 2.


    Das figuras 2 e 4 podemos fazer:

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por DexteR Ter Set 15, 2015 3:06 pm

    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]




    A decomposição dos vetores da velocidade está no desenho.


    Você primeiro teria de saber a distância entre AB, como fiz no desenho, por Pitágoras.


    Agora é só fazer o seguinte.


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Nesse caso nós temos a velocidade da corrente e para achar o cosseno é simples, só temos que usar o triângulo ABC.


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]



    Agora é simples


    [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por vinicius89 Ter Set 15, 2015 4:48 pm

    Obg helo e dexter pela ajuda..

    Mas como saber pra onde a velocidade do barco aponta? Nos calculos apresentados por ele, somente se descobre o angulo "theta" no final.
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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

    Mensagem por DexteR Ter Set 15, 2015 10:07 pm

    É assim você tem que pensar no menor caminho possível, nesse caso seria uma linha de A até C, com a correnteza ele tem que ir até B para atravessar, desta forma só teria uma solução, ir com uma velocidade em direção ao outro lado hehe... Sempre é assim, e só corrigindo uma coisa na resolução da Helô, nesta resolução ela considerou a velocidade do barco variável na minha resolução a velocidade É constante então não teria a variação do Theta.

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    velocidade - Decomposiçao vetorial -  velocidade Empty Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

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