Números complexos: sinônimo de maldição

Os valores máximos e mínimos quando o número complexo [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] quando [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] são respectivamente:

acheis as coordenadas dos pontos P1=(2+^5/5; ^5/5) e P2= (2-2^5/5; -^5/5) mas não sei mais o que fazer

Bom, o tópico da questão tá trancado então vou postar aqui caso alguém precise:

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Determine os valores máximo do módulo de z quando |z-2| = 1.


|z-2| = 1

||Z|.(cos+seni) -2| = 1

|(|z|.cos-2)+|z|.seni| = 1

|z|².cos²-4|z|cos+4 + |z|²sen² = 1

|z|² -4|z|cos + 3 = 0


Δ = 16cos² - 4.1.3
Δ = 16cos² - 12

Para |z| máximo: cos =1

(4+2)/2 = 3
(4-2)/2 = 1

você partiu pela trigonometria, e eu já fui pela geometria analítica hehe!

Não, um momento, está errado Ittalo, no gabarito da questão da resposta é ^5-1 e ^5+1

lucasmec1 escreveu:Não, um momento, está errado Ittalo, no gabarito da questão da resposta é ^5-1  e ^5+1

Você tem razão, eu é que não interpretei direito a questão haha.

Editei a questão do meu comentário de modo que a resposta faça sentido

Depois de 50 minutos consegui sair hahahaha

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|z-2| = 1
|a+bi-2| = 1
(a-2)² + b² = 1

circunferência com centro: (2,0)

(C1 da figura)

|z+i| =
|a+bi+i| =
a² + (b+1)²

circunferência com centro: (0,-1)

|z+i| (C2 e C3 da figura) também é uma circunferência, mas está sem raio.

O problema dessa questão consiste em definir esse raio.



Perceba que quando o raio de C2 chega até o ponto A, ele tem seu valor mínimo.
Quando o raio de C2 chega até o ponto B (C3), ela tem seu valor máximo.

Então basta descobrir o ponto A e o ponto B, e calcularmos a distância entre esses pontos e o centro de C2/C3 (0,-1), aí teremos o raio máximo e mínimo da circunferência |z+i|.



Para isso basta montar um reta que passe pelos dois centros das circunferências (0,-1) e (2,0):

m = (-1-0)/(0-2)
m = 1/2

Daí:

y - y' = m.(x-x')
y + 1 = 1/2.(x-0)
y = x/2 - 1


Pronto, a primeira intersecção dessa reta com a circunferência C1, será o ponto A (raio mínimo), a segunda intersecção será o ponto B (raio máximo).

Substituindo:

(a-2)² + b² = 1
(x-2)² + (x/2-1)² = 1

x = 2-2/√5
x' = 2 +2/√5

Como 2-2/√5 é menor que 2+2/√5, dá pra deduzir que ele é a abcissa de A.

Agora pra descobrir as ordenadas, basta substituir na equação da reta ou da circunferência. (Na reta é mais fácil haha)

O ponto A:

y = x/2 - 1
y = 1-1/√5 - 1
y = -1/√5

O ponto B:

y = x/2 -1
y =  1/√5

Agora a distância de A até o centro de C2 (0,-1) vai ser o raio mínimo:

√((-2+2/√5)² + (-1+1/√5)²) =

√5 - 1

A distância de B até o centro de C2 (0,-1) vai ser o raio máximo:

√((-2-2/√5)² + (-1-1/√5)²) =

1 + √5


Qualquer dúvida só falar, flw.