Ita Sp 2008 complexos e álgebra - nível Sheldon

sejam A e B pertencentes a C. tais que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] e [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]. então a² + b² é igual a
a) -2
b) 0
c) 1
d) 2
e) 2i

não consegui resolver x.x

Fiz por desigualdade triangular e cheguei em 1 também

||a|-|b|| <= |a-b| <= |a|+|b|

0 <= √2 <= |a|+|b|

√2 <= 2.|a|

√2 <= 2.√a²

2 <= 4.a²

1/2 <= a²

------------------

a²+b² = 1/2 + 1/2 = 1

a resposta é zero segundo o meu livro, e o gabarito oficial do Ita

O enunciado correto é:

|a| = |b| = 1

Tentei fazer mas travei:

Fazendo a = x+yi
b = z+wi

Daí:

|a-b| = √2
|a-b|²= 2
|a|²+|b|²-2.(x.z + y.w) = 2
1 + 1 - 2.(x.z + y.w) = 2
-2.(x.z + y.w) = 0
(x.z + y.w) = 0

A soma da multiplicação das partes reais e imaginárias de "a" e "b" é igual a 0, não sei o que deduzir disso....

Consegui fazer:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Assim dá pra concluir:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Assim descobrimos os dois números complexos:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Finalizando:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Qualquer dúvida só falar.

Olha, fiz diferente... me baseei na forma trigonométrica do número complexo e saiu facim, junto com a definição do módulo de um complexo.

Lembrando que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] teremos o seguinte:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Como [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] e como todas as funções trigonométricas dentro dos parênteses são números reais podemos aplicar a definição do módulo nesse caso:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Note que os dois primeiros parênteses valem 1 cada e que o terceiro parêntese é justamente [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]. Sendo assim, a partir de rápidas e triviais substituições, encontramos que

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Agora é só calcular o que foi pedido na questão:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Como a expressão entre os primeiros parênteses vale 1 temos que as duas primeiras parcelas somam 0; a terceira expressão também vale 0, basta olhar. Portanto:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

como sou meio doidinho acho que vou tentar resolver sem o dado que que o módulo dos números é igual a 1 xD xD xD talvez saia, talvez eu fique torrando meu cérebro à toa, quem sabe? (pq eu adoro o crash)