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Decomposiçao vetorial - velocidade

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vinicius89
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Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por vinicius89 em Seg Set 14, 2015 8:25 pm

Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto B, que se encontra na margem oposta do rio. A distância BC é igual a a = 30 m. A largura do rio AC é igual a b = 40 m. Com que velocidade mínima u, relativa à água, deve mover-se a lancha para chegar ao ponto B, sabendo que a velocidade da corrente é V0 = 10 m/s ?

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Resolução encontrada na net:

"Vamos por o ponto A no plano cartesiano, na origem.
Então, ele deve chegar em B = (30, 40)
Sendo v a velocidade do barco e θ o ângulo que faz com a horizontal(por isso o plano cartesiano), então temos que a velocidade no eixo X será:
Vx = Velocidade resultante em X = V0 + v . cos θ
Vy = Velocidade resultante em Y = v . sen θ
Agora, como queremos que o barco percorra  a distância AB em linha reta(pois não dá pra fazer curva sem mudar a velocidade), então é necessário que:
Vx . t = a
Vy . t = b
Portanto, isolando os t's e igualando obtemos:
Vx . b = Vy . a
(V0 + v . cos θ) . b = (v . sen θ) . a
Isolando v obtemos:
v = (v0 . b)/(a . sen θ - b . cos θ)
Certo, agora como b, a e v0 são fixos, então queremos que a velocidade mínima será quando o denominador for máximo.
E como fazemos isso? Podemos fazer uma substituição:
K = a . sen θ - b . cos θ
K = √(a²+b²)([a/√(a²+b²)] . sen θ - [b/√(a²+b²)] . cos θ)
Sendo cos β = a/√(a²+b²) e sen β = b/√(a²+b²) e então:
K = √(a²+b²)[cos β . sen θ - cos θ . sen β] = √(a²+b²) . sen(θ-β)
Portanto:
V = (v0 . b)/[√(a²+b²) . sen(θ-β)]
Logo, o mínimo da velocidade ocorre quando o seno é maximo, ou seja.
Vmin = v0 . b / √(a²+b²)
Substituindo os dados obtemos:
Vmin = 8 m/s
A direção em que isso ocorre satifaz:
sen(θ-β) = 1 ---> θ - β = 90° ---> θ = 90° + β

Podemos perceber que como:
0 < β < 90°
Então
90° < θ < 180°
Ou seja, a direção do barco é para a esquerda e para cima nesse caso. Onde:
cos θ = -4/5
sen θ = 3/5


PS: O ângulo β nada mais é que o ângulo ABC. Nos dados da questão temos que:
√(a²+b²) = 50
a = 30
b = 40
sen β = 4/5
cos β = 3/5"

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A parte que nao entendi:Ele utiliza relaçoes trigonometricas de seno e cosseno para o angulo "theta" para encontrar K = √(a²+b²) . sen(θ-β).E depois ,no final, para que K = √(a²+b²) . sen(θ-β) tenha valor maximo ,sen(θ-β) é 1,ou seja, θ-β = 90°,logo, θ>90°.
Como esse angulo pode se tornar maior que 90° se ele usa seno e cosseno? Provavel q n EU n esteja compreendendo mto bem pq ,alem da resposta dele bater com gabarito, ele n deixaria passar batido esse errinho bobo - eu ja lhe perguntei a respeito em outro forum mas n esclareceu especificamente essa duvida.

vinicius89
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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por vinicius89 em Seg Set 14, 2015 9:44 pm

Duvida esclarecida.Ele usa "v.cosθ" como expressao generica p/ qualquer angulo 0°>θ>180°.Como a componente horizontal de "v" se encontra no sentido oposto de Vo, terá valor negativo e θ estará entre 90° e 180°.
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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por Helo em Ter Set 15, 2015 9:22 am

A pessoa que resolveu essa questão complicou sua vida. kkkkkkkkkk

Vou resolver de uma outra forma bem mais simples, veja.



[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]= velocidade constante

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]=velocidade da água em relação à Terra

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]=velocidade do barco em relação à Terra


Com isso temos a seguinte relação vetorial:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]


Para que o barco parta do ponto A da margem e chegue ao ponto B da margem oposta seguindo a trajetória AB em relação à Terra (margens), a velocidade do barco em relação à Terra [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] deve apontar na direção da reta AB.

Veja as figuras:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

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[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]


As figuras 1, 2 e 3 mostram três situações distintas que satisfazem a relação vetorial. E para saber qual delas teremos o menor valor para o vetor [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.], basta perceber que será quando tivermos a distância mínima entre o ponto P e a reta AB como mostra a figura 2.


Das figuras 2 e 4 podemos fazer:

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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por DexteR em Ter Set 15, 2015 3:06 pm

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]




A decomposição dos vetores da velocidade está no desenho.


Você primeiro teria de saber a distância entre AB, como fiz no desenho, por Pitágoras.


Agora é só fazer o seguinte.


[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]



Nesse caso nós temos a velocidade da corrente e para achar o cosseno é simples, só temos que usar o triângulo ABC.


[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]



Agora é simples


[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]


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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por vinicius89 em Ter Set 15, 2015 4:48 pm

Obg helo e dexter pela ajuda..

Mas como saber pra onde a velocidade do barco aponta? Nos calculos apresentados por ele, somente se descobre o angulo "theta" no final.
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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

Mensagem por DexteR em Ter Set 15, 2015 10:07 pm

É assim você tem que pensar no menor caminho possível, nesse caso seria uma linha de A até C, com a correnteza ele tem que ir até B para atravessar, desta forma só teria uma solução, ir com uma velocidade em direção ao outro lado hehe... Sempre é assim, e só corrigindo uma coisa na resolução da Helô, nesta resolução ela considerou a velocidade do barco variável na minha resolução a velocidade É constante então não teria a variação do Theta.


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Re: Decomposiçao vetorial - velocidade

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